درس من كتاب نظرية الاعداد..قابلية القسمة

[عطــ اللوتس ــر]

قابلية القسمة ( Divisibility )

تعريف 1.1 يكون العدد الصحيح ب قابلا للقسمة(Divisible) على العدد الصحيح أ (أ لا يساوي الصفر) ، إذا وجد عددا صحيحا ك بحيث:

ب = أ × ك و نكتبها ب | أ ( a | b )

a | b : b = ax for some x , a , b and x are integers and a is not zero

ملحوظة : عندما نستخدم أحد التعبيرين : " قابل للقسمة" أو " يقسم على"

نعني أنه يقسم عليه بدون باقي.

أمثلة : 10 | 2 لأن 10 = 2 × 5

0 | 20 لأن 0 = 0 2× 0

من الواضح أننا لا نستطيع وضع الصفر على الجهة اليسار

يمكننا التعبير عن قابلية القسمة ( Divisibility ) بلغة أخرى :

ب| أ : أ هو قاسم ( Divides) للعدد ب و أ هي عامل ( Divisor ) من عوامل ب

و ب هي مضاعف ( Multiple ) للعدد أ

مثال : 20| 5 :

20 تقسم ( Divisible) على 5
5 قاسم ( Divides ) للعدد 20
5 عاملا (Divisor ) للعدد 20
20 مضاعف (Multiple ) للعدد 5

نظرية 1.1

(1) ب | أ تعطي ب جـ | أ لأي جـ عدد صحيح

(2) ب | أ و جـ | ب تعطي جـ | أ

(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب س + جـ ص | أ لأي س و ص أعداد صحيحة

(4) ب | أ و أ | ب تعطي أ = +- ب

(5) إذا كان العددين أ و ب صحيحين موجبين و كان ب | أ يكون أ ب

(بمعنى آخر ب هو الأكبر بين قواسمه )

البرهان :

(1) ب | أ ، إذا يوجد ك عدد صحيح بشرط ب = أ × ك

بضرب الطرفين بـ جـ : ب جـ = أ × (ك جـ) ، ك جـ عدد صحيح لتكن كَ = ك جـ

إذا ب جـ = أ × كَ و منها ب جـ | أ

(2) متروكة للقارىء

(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب = أ × ك و جـ = أ × كَ

إذا

ب س + جـ ص = ( أك )س + ( أكَ ) ص = أ( ك س ) + أ ( كَ ص )

ب س + جـ ص = أ ( ك س + كَ ص ) و منها ب س + جـ ص | أ

لأنها تساوي أ مضروبة بالعدد الصحيح ( ك س + كَ ص )

(4) متروكة للقارىء

( 5 ) ب | أ تعني ب = أ × ك أ

حقائق :

(1) العدد الصحيح الزوجي نعبّر عنه بالشكل 2 ك

و العدد الصحيح الفردي نعبّر عنه بالشكل 2 ك + 1 ، حيث ك عدد صحيح

(2) عندما نقسم عددا صحيحا على 3 يكون باقي القسمة أحد الأعداد

0 ، 1 ، 2 . ينتج عن ذلك أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل(ك عدد صحيح) :

3 ك ، 12 = 3 × 4
3ك + 1 ، 22 = 3 × 7 + 1
3ك + 2 ، 32 = 3 × 10 + 2
و أكثر من ذلك ، خذ أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ، أحدهم يجب أن يقسم على 3 .

السبب : أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل :
3ك أو 3ك + 1 أو 3ك + 2 و كما ترى هي متتالية و أحدها 3ك يقسم على 3

[أم حمزه]

شكرا لجهودك أنا أخدت نظرية الاعداد بس فعلا انها مادة فيها كتير من المعلومات المفيدة صحيح انها المادة كبيرة وزخمة بس كتير فيها معلومات مفيدة ومش صعبة
شكرا لجهودك الرائعة

[أماني قواسمي]

موضوع مميز ام فادي
اتمنى ان يستفيد الجميع من هذا الدرس
لك كل التقدير

[عطــ اللوتس ــر]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة أم أحمد عفوا ,,, لايمكنك مشاهده الروابط لانك غير مسجل لدينا [ للتسجيل اضغط هنا ]

شكرا لجهودك أنا أخدت نظرية الاعداد بس فعلا انها مادة فيها كتير من المعلومات المفيدة صحيح انها المادة كبيرة وزخمة بس كتير فيها معلومات مفيدة ومش صعبة
شكرا لجهودك الرائعة

مشكورة على المرور