من تطبيفات التفاضل:المعدلات المرتبطة بالزمن

[أم حمزه]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
سيكون هنا لنا وقفة مع أحد أهم تطبيقات التفاضل
وهي المعدلات المرتبطة بالزمن

سأبدأ بدايةً بشرح بسيط ثم نضع مجموعة من التمارين

شرح وملاحظات:-
*معدل التغير:-يعني المشتقة الأولى.
*المعدلات :-جمع "معدل التغير".
*هذا الموضوع هو تطبيق على الاشتقاق الضمني بالنسبة للزمن.


متطلبات سابقة قبل البدء بدراسة هذا الموضوع يجب أن يكون الطالب ملماً بمايلي :-
1.نظرية فيثاغوروس.
2.قانون المسافة بين نقطتين في المستوى.
3.قانون جيب التمام.
4.الاقترانات الدائرية وبعض المتطابقات.
5.المسطحات:تسمياتها،قوانين المساحة والمحيط لكل منها .
6.المجسمات:تسمياتها،قوانين الحجم والمساحة السطحية لكل منها.
(من المسطحات: الدائرة،شبه المنحرف،المثلث،المربع،المعين،...)
(من المجسمات:الكرة،المكعب،الهرم،المخروط،الاسطوانة،...)
7.تشابه المثلثات.
8.قانون الميل.
9.زاوية الارتفاع(محصورة بين خط البصر المرتفع والخط الأفقي عن العين )
زاوية الانخفاض(محصورة بين خط البصر المنخفض والخط الأفقي عن العين )
زاوية النظر(محصورة بين خطي بصر)
*زاوية الارتفاع والانخفاض تتشكل عند النظر الى نقطة، وزوايا النظر تتشكل عند النظر الى منطقة.


ملاحظات:-
1.في جميع مسائل هذا الموضوع توجد حركة
"يسير رجل على الأرض،يتسرب الماء من مخروط،يصب الماء في وعاء اسطواني،يصب الماء في وعاء أسطواني،ينزلق سلم متكئ على الحائط،...)
2.في جميع مسائل هذا النوع كلمة سرعة أو معدل تغير: حيث كل منهما تعني المشتقة الأولى بالنسبة للزمن .
3.اذا نتج عن الحركة زيادة في قيمة التغير :نعتبر معدل التغير موجب.
اذا نتج عن الحركة نقصان في قيمةالتغير:نعتبر معدل التغير سالب.
4.هذا الموضوع يشبه التطبيقات الفيزيائية من حيث أن كل منهما تطبيق على الاشتقاق بالنسبة للزمن وفي كل منهما حركة.
الا أن العلاقة الرياضية في التطبيقات الفيزيائية تكون معطاه،وفي هذا الموضوع تكون المسألة بصورة انشائية والعلاقة الرياضية الأساسية غير معطاه،أهم مرحلة في السؤال هو تكوين العلاقة الرياضية.
5.في أغلب المسائل فان العلاقة الرئيسية يجب أن تحتوي متغيرين بالضبط قد يكونان في نفس الطرف وقد يكونان في طرفين مختلفين.
وفي بعض العلاقات الرياضية الرياضية يسمح ببقاء 3 متغيرات .
6.في بعض المسائل نحتاج لتكوين علاقة مساعدة تساد في تقليل عدد المتغيرات في العلاقة الرئيسية من 3 الى 2.
7.دس/دن:تعني السرعة:معدل تغير المسافة س بالنسبة للزمن.
دح/دن:معدل تغير الحجم بالنسبة للزمن:سرعة نقصان أو زيادة الحجم.
دهـ/دن:معدل تغير الزاوية بالنسبة للزمن:سرعة نقصان أو زيادة الزاوية.




خطوات حل المسألة:-
1.رسم شكل هندسي يناسب المسألة/ان أمكن.
2.تحديد الثوابت والمتغيرات في المسألة.
الثوابت:نكتب قيمتها على الشكل وليس رموزها،والمتغيرات:نعبر عنها بالرموز.
3.تحديد المطلوب في المسألة بالرموز.
4.تكوين العلاقة الرياضية الرئيسية/التي تناسب المسألة.
5.أحياناً نستفيد من المعطيات في المسألة لتقليل عدد المتغيرات من 3 الى 2.
6.نشتق العلاقة الرئيسية بالنسبة للزمن/غالباً اشتقاق ضمني.
7.نجد المطلوب .

ملاحظة:_اذا أعطيت قيمة للمتغير في المسألة فاننا لا نعوضها الا بعد اشتقاق العلاقة الرئيسية.

ملاحظات حول العلاقة الرئيسية والعلاقة المساعدة:-
1.اذا كان المطلوب هو معدل تغير الزاوية فان العلاقة الرئيسية تكون نسبة مثلثية.
2.في المسائل التي فيها سؤال غالباً العلاقة الرئيسية هي حجم السائل.
3.في مسائل المخروط غالباً:العلاقة الرئيسية هي حجم السائل.
العلاقة المسادة تشايه مثلثات أو ظل زاوية رأس المخروط.
4.في مسائل السلم:غالباً نستخدم نظرية فيثاغوروس كعلاقة رئيسية أو مساعدة .
5.في المسائل التي يتكون فيها ظل لجسم بسبب حركته بالقرب من مصباح تكون العلاقة الرئيسية تشابه المثلثات أو نسبة مثلثية.
6.في المسائل التي يتحرك فيها جسمان بشكل متعامد تكون العلاقة الرئيسية فيثاغوروس.
7.في المسائل التي يتحرك فيها جسمان بشكل غير متعامد تكون العلاقة الرئيسية قانون جيب التمام.
8.في المسائل التي تتعلق بمنحنيات في المستوى الديكارتي تكون العلاقة المساعدة هي العلاقة الرياضية المعطاة بين س،ص.

ملاحظة:-عادة لا نشتق العلاقة المساعدة/بل نشتق العلاقة الرئيسية.


أتمنى أن يستفيد الجميع من هذه المعلومات

[أماني قواسمي]

لك كل التقدير ام حمزه
على التميز
والدروس الرائعة التي تضيفيها لنا
واتمنى ان يستفيد الجميع مما تقدميه
مع الشكر

[أم حمزه]

الشكر والتقدير لك أخت أماني أشكر مرورك جزيل الشكر

[التغــ الفلسطينية ــريبة]

مميز للغاية
بالفعل دروس أستفيد منها بشكلٍ كبير
باركَ الله فيكِ أختي الكريمة " أم حمزة "

أتمنى من الله أن يستفيد الجميع
لكِ كل التقدير والاحترام

[الملاك الصغير]

تحيتي لكِ أختي أم حمزة ...
لكن أحب أن اوضح نقطة \ يجوز أنها سقطت منكِ سهواً ...
توضيح حدود المشتقة مهم للغاية ...

إذ تحتاج بعض الاسئلة إلى إعادة الاشتقاق بحدود مختلفة ...
للوصول للحل ...
والانتباه إلى أن بعض الاسئلة ... يكون فيها أحد حدود المشتقة المالانهاية ...
وهذه لها اسلوب اشتقاق مختلف تماماً ...

أشكرِ أختي وتحيتي لمجهودك ...

[أم حمزه]

شكرا لك اختي الكريمة على هذه المداخلة معك حق في هذه المداخلة ولكن الشرح كان لتوضيح الطريقة بشكل عام....فشكرا لحضرتك على هذه اللفتة واشكر مرورك ومداخلتك...........والحقيقة اني لم اشرح هذه الدروس بمجهودي ولكنني اقتبستها من صفحات الانترنت للفائدة والمعرفة انشاء الله لي وللجميع والحقيقة انني استفيد الكثير من صفحات النترنت عبر هذه الدروس المفيدة

[لمى الفلسطينية]

درس مميز
لــ عشاق التفاضل
دمتـِ بخير
صديقتي